Glidande medelvärde of tidsserier

Flytta medelvärden Flytta medelvärden Med vanliga dataset är medelvärdet ofta det första och en av de mest användbara, sammanfattande statistiken för att beräkna. När data är i form av en tidsserie är seriemärket en användbar åtgärd, men återspeglar inte dataens dynamiska natur. Medelvärden beräknade över korta perioder, antingen före den aktuella perioden eller centrerad under den aktuella perioden, är ofta mer användbara. Eftersom sådana medelvärden varierar eller flyttas, då den aktuella perioden går från tiden t 2, t 3. etc. är de kända som rörliga medelvärden (Mas). Ett enkelt glidande medelvärde är (vanligtvis) det obegripade medlet av k tidigare värden. Ett exponentiellt vägt rörligt medelvärde är väsentligen detsamma som ett enkelt rörligt medelvärde, men med bidrag till medelvärdet viktat av deras närhet till den aktuella tiden. Eftersom det inte finns en, men en hel serie av rörliga medelvärden för en given serie, kan masken själva vara ritad på grafer, analyserade som en serie och används vid modellering och prognoser. En rad modeller kan konstrueras med hjälp av glidande medelvärden, och dessa är kända som MA-modeller. Om sådana modeller kombineras med autoregressiva (AR) modeller är de resulterande kompositmodellerna kända som ARMA - eller ARIMA-modeller (jag är för integrerad). Enkla glidande medelvärden Eftersom en tidsserie kan betraktas som en uppsättning värden, kan t 1,2,3,4, n genomsnittet av dessa värden beräknas. Om vi ​​antar att n är ganska stor, och vi väljer ett heltal k som är mycket mindre än n. Vi kan beräkna en uppsättning blockmedelvärden eller enkla rörliga medelvärden (i ordning k): Varje åtgärd representerar genomsnittet av datavärdena över ett intervall av k-observationer. Observera att den första möjliga MA i ordningen k gt0 är den för t k. Mer generellt kan vi släppa det extra prenumerationen i ovanstående uttryck och skriva: Detta säger att det uppskattade medelvärdet vid tiden t är det enkla genomsnittet av det observerade värdet vid tiden t och de föregående k -1-stegen. Om vikter appliceras som minskar bidraget från observationer som är längre bort i tid, sägs det glidande medlet vara exponentiellt jämna. Flytta medelvärden används ofta som en form av prognoser, varigenom det uppskattade värdet för en serie vid tiden t 1, S t1. Tas som MA för perioden fram till och med tiden t. t. ex. dagens uppskattning baseras på ett genomsnitt av tidigare registrerade värden fram till och med gårdagens (för dagliga data). Enkla glidande medelvärden kan ses som en form av utjämning. I det exempel som illustreras nedan har luftföroreningens dataset som visas i introduktionen till detta ämne ökat med en 7-dagars glidande medelvärde (MA) - linje, som visas här i rött. Såsom kan ses, släpper MA-linjen ut topparna och trågen i data och kan vara till stor hjälp när det gäller att identifiera trender. Standarden framåtberäkningsformeln innebär att de första k -1 datapunkterna inte har något MA-värde, men därefter sträcker sig beräkningarna till den slutliga datapunkten i serien. PM10 dagliga medelvärden, Greenwich källa: London Air Quality Network, londonair. org. uk En orsak för att beräkna enkla glidande medelvärden på det sätt som beskrivs är att det gör det möjligt att beräkna värden för alla tidsluckor från tid tk fram till idag, och När en ny mätning erhålls för tid t 1 kan MA för tid t 1 läggas till den redan beräknade uppsättningen. Detta ger ett enkelt förfarande för dynamiska dataset. Det finns emellertid vissa problem med detta tillvägagångssätt. Det är rimligt att hävda att medelvärdet under de senaste 3 perioderna ska vara placerat vid tiden t -1, inte tiden t. och för en MA över ett jämnt antal perioder kanske det borde ligga mitt i punkten mellan två tidsintervaller. En lösning på denna fråga är att använda centrerade MA-beräkningar, där MA vid tid t är medelvärdet av en symmetrisk uppsättning värden runt t. Trots sina uppenbara meriter används inte denna metod generellt eftersom det krävs att data är tillgängliga för framtida händelser, vilket kanske inte är fallet. I fall där analysen helt och hållet består av en befintlig serie, kan användningen av centrerad Mas vara att föredra. Enkla glidande medelvärden kan betraktas som en form av utjämning, avlägsna vissa högfrekventa komponenter i en tidsserie och markera (men inte ta bort) trender på ett sätt som liknar den allmänna uppfattningen av digital filtrering. Faktum är att glidmedel är en form av linjärt filter. Det är möjligt att tillämpa en glidande medelberäkning till en serie som redan har slätts, dvs utjämning eller filtrering av en redan slätad serie. Till exempel med ett glidande medelvärde av ordning 2 kan vi betrakta det som beräknat med vikter, så MA vid x 2 0,5 x 1 0,5 x 2. På samma sätt är MA vid x 3 0,5 x 2 0,5 x 3. Om vi Applicera en andra nivå av utjämning eller filtrering, vi har 0,5 x 2 0,5 x 3 0,5 (0,5 x 2 0,5 x 3) 0,25 x 1 0,5 x 2 0,25 x 3 dvs 2-stegs filtrering process (eller convolution) har producerat ett variabelt viktat symmetriskt glidande medelvärde, med vikter. Flera omvälvningar kan producera ganska komplexa viktade glidmedel, av vilka vissa har visat sig vara speciellt användbara inom specialiserade områden, t. ex. i livförsäkringsberäkningar. Flyttande medelvärden kan användas för att avlägsna periodiska effekter om de beräknas med periodens längd som känd. Exempelvis kan säsongsvariationer ofta avlägsnas (om detta är målet) genom att tillämpa ett symmetriskt 12 månaders glidande medelvärde med alla månader viktade lika mycket, med undantag för det första och det sista som viktas med 12. Detta beror på att det kommer att var 13 månader i den symmetriska modellen (aktuell tid, t. - 6 månader). Totalen är dividerad med 12. Liknande procedurer kan antas för någon väldefinierad periodicitet. Exponentiellt vägda glidmedel (EWMA) Med den enkla glidande medelformeln: alla observationer är lika viktiga. Om vi ​​kallade dessa lika vikter, alfa t. var och en av k-vikterna skulle motsvara 1 k. så summan av vikterna skulle vara 1 och formeln skulle vara: Vi har redan sett att flera tillämpningar av denna process resulterar i vikterna varierande. Med exponentiellt vägda glidmedel är bidraget till medelvärdet från observationer som är mer borttagna i tiden minskat och därmed framhävs de senaste (lokala) händelserna. I huvudsak introduceras en utjämningsparameter, 0lt al1l, och formeln revideras till: En symmetrisk version av denna formel skulle vara av formen: Om vikterna i den symmetriska modellen väljas som villkoren för villkoren för binomial expansion, (1212) 2q. de kommer att summera till 1, och när q blir stor kommer den att approximera normalfördelningen. Detta är en form av kärnviktning, med binomial som fungerar som kärnfunktionen. Den tvåstegsvalsning som beskrivs i föregående stycke är just detta arrangemang, med q 1, vilket ger vikterna. Vid exponentiell utjämning är det nödvändigt att använda en uppsättning vikter som summerar till 1 och som reducerar geometriskt i storlek. De använda vikterna är typiskt av formen: För att visa att dessa vikter uppgår till 1, överväga utvidgningen av 1 som en serie. Vi kan skriva och expandera uttrycket i parentes med binomialformeln (1- x) p. där x (1-) och p -1, vilket ger: Detta ger då en form av viktat glidande medelvärde av formuläret: Denna summering kan skrivas som en återkommande relation: vilket förenklar beräkningen kraftigt och undviker problemet att viktningsregimen bör strängt vara oändlig för vikterna sammanlagt till 1 (för små värden av alfa. detta är vanligtvis inte fallet). Notationen som används av olika författare varierar. Vissa använder bokstaven S för att indikera att formeln i huvudsak är en jämn variabel och skriv: medan kontrollteori litteraturen ofta använder Z snarare än S för exponentiellt viktade eller jämnda värden (se exempelvis Lucas och Saccucci, 1990, LUC1 , Och NIST-webbplatsen för mer detaljer och fungerade exempel). Formlerna som nämns ovan härstammar från Roberts arbete (1959, ROB1), men Hunter (1986, HUN1) använder ett uttryck av formen: vilket kan vara mer lämpligt för användning vid vissa kontrollförfaranden. Med alfa 1 är medelvärdet bara det uppmätta värdet (eller värdet av föregående dataobjekt). Med 0,5 är uppskattningen det enkla glidande medlet för nuvarande och tidigare mätningar. Vid prognosmodeller är värdet S t. används ofta som uppskattnings - eller prognosvärde för nästa tidsperiod, dvs som uppskattning för x vid tidpunkt t 1. Således har vi: Detta visar att prognosvärdet vid tid t 1 är en kombination av det tidigare exponentiellt viktade glidande medlet Plus en komponent som representerar det vägda prediktionsfelet, epsilon. Vid tiden t. Antag att en tidsserie ges och en prognos krävs, ett värde för alfa krävs. Detta kan beräknas från befintliga data genom att utvärdera summan av kvadrerade prediktionsfel erhållna med varierande värden av alfa för varje t 2,3. Inställning av den första uppskattningen som det första observerade datavärdet, x 1. I kontrollapplikationer är värdet av alfa viktigt eftersom det används vid bestämning av övre och nedre kontrollgränser och påverkar den genomsnittliga körlängden (ARL) som förväntas innan dessa kontrollgränser bryts (under antagandet att tidsserierna representerar en uppsättning slumpmässiga, identiskt distribuerade oberoende variabler med gemensam varians). Under dessa omständigheter är variansen av kontrollstatistiken: (Lucas och Saccucci, 1990): Kontrollgränser fastställs vanligtvis som fasta multiplar av denna asymptotiska varians, t. ex. - 3 gånger standardavvikelsen. Om exempelvis alfa 0,25 och de data som övervakas antas ha en Normalfördelning, N (0,1), när den är i kontroll, kommer kontrollgränserna att vara - 1,134 och processen kommer att nå en eller annan gräns i 500 steg i genomsnitt. Lucas och Saccucci (1990 LUC1) härleda ARL för ett brett spektrum av alfavärden och under olika antaganden med användning av Markov Chain-förfaranden. De tabulerar resultaten, inklusive att tillhandahålla ARL, när medelvärdet av kontrollprocessen har skiftats med en del multipel av standardavvikelsen. Till exempel, med ett 0,5 skift med alfa 0,25 är ARL mindre än 50 tidssteg. Tillvägagångssätten som beskrivs ovan är kända som singel exponentiell utjämning. Eftersom förfarandena appliceras en gång till tidsserierna och sedan utförs analyser eller kontrollprocesser på den resulterande utjämnade datasatsen. Om datasetet innehåller en trend och eller säsongsbetonade komponenter kan två - eller trestegs exponentiell utjämning användas för att undanröja (explicit modellering) dessa effekter (se vidare avsnittet Prognoser nedan och NIST-exemplet). CHA1 Chatfield C (1975) Analysen av Times Series: Theory and Practice. Chapman och Hall, London HUN1 Hunter J S (1986) Det exponentiellt vägda glidande medlet. J av Quality Technology, 18, 203-210 LUC1 Lucas J M, Saccucci M S (1990) Exponentiellt viktade rörliga medelkontrollsystem: Egenskaper och förbättringar. Technometrics, 32 (1), 1-12 ROB1 Roberts S W (1959) Kontrolldiagramtester baserat på geometriska rörliga medelvärden. Technometrics, 1, 239-2502.1 Moving Average Models (MA modeller) Tidsseriemodeller som kallas ARIMA-modeller kan innefatta autoregressiva termer och eller rörliga genomsnittsvillkor. I vecka 1 lärde vi oss en autoregressiv term i en tidsseriemodell för variabeln x t är ett fördröjt värde av x t. Till exempel är en lag 1-autoregressiv term x t-1 (multiplicerad med en koefficient). Denna lektion definierar glidande medelvärden. En glidande medelfrist i en tidsseriemodell är ett tidigare fel (multiplicerat med en koefficient). Låt (wt overset N (0, sigma2w)), vilket betyder att w t är identiskt oberoende fördelade, var och en med en normal fördelning med medelvärde 0 och samma varians. Den första ordningens rörliga genomsnittsmodell, betecknad med MA (1) är (xt mu wt theta1w) Den andra ordens rörliga genomsnittsmodellen, betecknad med MA (2) är (xt mu wt theta1w theta2w) , betecknad med MA (q) är (xt mu wt theta1w theta2w prickar thetaqw) Anm. Många läroböcker och programvara definierar modellen med negativa tecken före villkoren. Detta ändrar inte de allmänna teoretiska egenskaperna hos modellen, även om den ändrar de algebraiska tecknen på uppskattade koefficientvärden och (unsquared) termer i formler för ACF och variationer. Du måste kontrollera din programvara för att kontrollera om negativa eller positiva tecken har använts för att korrekt beräkna den beräknade modellen. R använder positiva tecken i sin underliggande modell, som vi gör här. Teoretiska egenskaper hos en tidsserie med en MA (1) modell Observera att det enda nonzero-värdet i teoretisk ACF är för lag 1. Alla andra autokorrelationer är 0. Således är ett prov ACF med en signifikant autokorrelation endast vid lag 1 en indikator på en möjlig MA (1) modell. För intresserade studenter är bevis på dessa egenskaper en bilaga till denna handout. Exempel 1 Antag att en MA (1) modell är x t10 w t, 7 w t-1. Var (överskridande N (0,1)). Således är koefficienten 1 0,7. Den teoretiska ACF ges av En plot av denna ACF följer. Den visade ploten är den teoretiska ACF för en MA (1) med 1 0,7. I praktiken ger ett prov vanligen vanligtvis ett så tydligt mönster. Med hjälp av R simulerade vi n 100 provvärden med hjälp av modellen x t 10 w t .7 w t-1 där vikt N (0,1). För denna simulering följer en tidsserieplot av provdata. Vi kan inte berätta mycket från denna plot. Provet ACF för den simulerade data följer. Vi ser en spik vid lag 1 följt av allmänt icke-signifikanta värden för lags över 1. Observera att provet ACF inte matchar det teoretiska mönstret för den underliggande MA (1), vilket är att alla autokorrelationer för lags över 1 kommer att vara 0 . Ett annat prov skulle ha en något annorlunda prov ACF som visas nedan, men skulle troligen ha samma breda funktioner. Terapeutiska egenskaper hos en tids serie med en MA (2) modell För MA (2) modellen är teoretiska egenskaper följande: Observera att de enda nonzero-värdena i teoretisk ACF är för lags 1 och 2. Autokorrelationer för högre lags är 0 . En ACF med signifikanta autokorrelationer vid lags 1 och 2, men icke-signifikanta autokorrelationer för högre lags indikerar en möjlig MA (2) modell. Iid N (0,1). Koefficienterna är 1 0,5 och 2 0,3. Eftersom det här är en MA (2), kommer den teoretiska ACF endast att ha nonzero-värden endast vid lags 1 och 2. Värdena för de två icke-oberoende autokorrelationerna är A-plot av den teoretiska ACF följer. Såsom nästan alltid är fallet kommer provdata inte att fungera så perfekt som teori. Vi simulerade n 150 provvärden för modellen x t 10 w t .5 w t-1 .3 w t-2. Var vet N (0,1). Tidsserierna av data följer. Som med tidsserien för MA (1) provdata kan du inte berätta mycket för det. Provet ACF för den simulerade data följer. Mönstret är typiskt för situationer där en MA (2) modell kan vara användbar. Det finns två statistiskt signifikanta spikar vid lags 1 och 2 följt av icke-signifikanta värden för andra lags. Observera att provet ACF på grund av provtagningsfel inte exakt matchade det teoretiska mönstret. ACF för General MA (q) Modeller En egenskap hos MA (q) modeller är generellt att det finns icke-oberoende autokorrelationer för de första q-lagsna och autokorrelationerna 0 för alla lags gt q. Icke-unikhet av samband mellan värden på 1 och (rho1) i MA (1) Modell. I MA (1) - modellen, för något värde av 1. Den ömsesidiga 1 1 ger samma värde. Använd exempelvis 0,5 för 1. Och använd sedan 1 (0,5) 2 för 1. Du får (rho1) 0,4 i båda fallen. För att tillfredsställa en teoretisk restriktion kallad invertibility. Vi begränsar MA (1) - modellerna till att ha värden med absolutvärdet mindre än 1. I exemplet just givet är 1 0,5 ett tillåtet parametervärde, medan 1 10,5 2 inte kommer att. Inverterbarhet av MA-modeller En MA-modell sägs vara omvändbar om den är algebraiskt ekvivalent med en konvergerande oändlig ordning AR-modell. Med konvergeringen menar vi att AR-koefficienterna minskar till 0 när vi flyttar tillbaka i tiden. Omvändbarhet är en begränsning programmerad i tidsserierprogramvara som används för att uppskatta koefficienterna för modeller med MA-termer. Det är inte något vi söker efter i dataanalysen. Ytterligare information om invertibilitetsbegränsningen för MA (1) - modeller ges i bilagan. Avancerad teorinotation. För en MA (q) modell med en specificerad ACF finns det endast en inverterbar modell. Det nödvändiga villkoret för invertibilitet är att koefficienterna har värden så att ekvationen 1- 1 y-. - q y q 0 har lösningar för y som faller utanför enhetens cirkel. R-kod för exemplen I exempel 1 ritade vi den teoretiska ACF av modellen x t10 wt. 7w t-1. och sedan simulerade n 150 värden från denna modell och plottade provtidsserierna och provet ACF för de simulerade data. R-kommandona användes för att plotta den teoretiska ACF: acfma1ARMAacf (mac (0.7), lag. max10) 10 satser av ACF för MA (1) med theta1 0,7 lags0: 10 skapar en variabel som heter lags som sträcker sig från 0 till 10. plot (lags, acfma1, xlimc (1,10), ylabr, typh, huvud ACF för MA (1) med theta1 0,7) abline (h0) adderar en horisontell axel till plottet Det första kommandot bestämmer ACF och lagrar det i ett objekt Namnet acfma1 (vårt val av namn). Plot-kommandot (3: e kommandot) tomter jämförs med ACF-värdena för lags 1 till 10. ylab-parametern markerar y-axeln och huvudparametern lägger en titel på plotten. För att se de numeriska värdena för ACF använder du bara kommandot acfma1. Simuleringen och tomterna gjordes med följande kommandon. xcarima. sim (n150, lista (mac (0.7))) Simulerar n 150 värden från MA (1) xxc10 lägger till 10 för att göra medelvärdet 10. Simulering standardvärden betyder 0. plot (x, typeb, mainSimulated MA (1) data) acf (x, xlimc (1,10), mainACF för simulerad provdata) I exempel 2 ritade vi teoretisk ACF av modellen xt 10 wt5 w t-1, 3 w t-2. och sedan simulerade n 150 värden från denna modell och plottade provtidsserierna och provet ACF för de simulerade data. De R-kommandon som användes var acfma2ARMAacf (mac (0,5,0,3), lag. max10) acfma2 lags0: 10 plot (lags, acfma2, xlimc (1,10), ylabr, typh, huvud ACF för MA (2) med theta1 0,5, theta20.3) abline (h0) xcarima. sim (n150, lista (mac (0,5, 0,3)) xxc10 plot (x, typeb, huvudsimulerad MA (2) serie) acf (x, xlimc (1,10) mainACF för simulerade MA (2) data) Bilaga: Bevis för egenskaper hos MA (1) För intresserade studenter, här är bevis för teoretiska egenskaper för MA (1) modellen. Varians: (text (xt) text (mu wt theta1 w) 0 text (wt) text (theta1w) sigma2w theta21sigma2w (1theta21) sigma2w) När h 1, föregående uttryck 1 w 2. För varje h 2, föregående uttryck 0 . Orsaken är att, per definition av vägtons oberoende. E (w k w j) 0 för någon k j. Vidare, eftersom w t har medelvärdet 0, E (wjwj) E (wj2) w2. För en tidsserie, Applicera detta resultat för att få ACF ges ovan. En inverterbar MA-modell är en som kan skrivas som en oändlig ordning AR-modell som konvergerar så att AR-koefficienterna konvergerar till 0 när vi rör sig oändligt tillbaka i tiden. Visa väl omvändbarhet för MA (1) modellen. Vi ersätter sedan förhållandet (2) för w t-1 i ekvation (1) (3) (zt wt theta1 (z-tetww) wt theta1z-tet2w) Vid tid t-2. Ekvation (2) blir vi då ersättningsförhållande (4) för w t-2 i ekvation (3) (zt wt theta1z-teteta21w wt theta1z-teteta21 (z-tetww) wt theta1z-theta12z theta31w) Om vi ​​skulle fortsätta Oändligt), skulle vi få oändlig ordning AR-modellen (zt wt theta1z-theta21z theta31z-tetaka41z punkter) Observera dock att om koefficienterna som multiplicerar lagren av z ökar (oändligt) i storlek när vi flyttar tillbaka i tid. För att förhindra detta behöver vi 1 lt1. Detta är förutsättningen för en inverterbar MA (1) modell. Oändlig ordning MA-modell I vecka 3 ser du att en AR (1) - modell kan konverteras till en oändlig ordning MA-modell: (xt - mu wt phi1w phi21w prickar phik1 w dots sum phij1w) Denna summering av tidigare vita ljudvillkor är känd Som kausalrepresentation av en AR (1). Med andra ord är x t en speciell typ av MA med ett oändligt antal termer som går tillbaka i tiden. Detta kallas en oändlig ordning MA eller MA (). En ändlig ordning MA är en oändlig ordning AR och någon ändlös ordning AR är en oändlig ordning MA. Minns i vecka 1 noterade vi att ett krav på en stationär AR (1) är att 1 lt1. Låter beräkna Var (x t) med hjälp av kausalrepresentationen. Det här sista steget använder ett grundläggande faktum om geometriska serier som kräver (phi1lt1) annars skiljer serien. Navigation5.2 Utjämning av tidsserie Utjämning görs vanligtvis för att hjälpa oss att bättre se mönster, trender till exempel i tidsserier. Glatt ut den oregelbundna råheten i allmänhet för att se en tydligare signal. För säsongsdata kan vi sänka säsongsläget så att vi kan identifiera trenden. Utjämning ger oss inte en modell, men det kan vara ett bra första steg i att beskriva olika komponenter i serien. Termen filter används ibland för att beskriva ett utjämningsförfarande. Om exempelvis det jämnde värdet för en viss tid beräknas som en linjär kombination av observationer för omgivande tider kan det sägas att weve tillämpat ett linjärt filter på data (inte detsamma som att säga att resultatet är en rak linje, genom att vägen). Den traditionella användningen av begreppet glidande medelvärde är att vid varje tidpunkt bestämmer vi (möjligen viktade) medelvärden av observerade värden som omger en viss tid. Till exempel vid tid t. ett centrerat rörligt medelvärde av längd 3 med lika vikter skulle vara medelvärdet av värden vid tider t -1. T. och t1. För att ta bort säsongsscenarier från en serie, så vi bättre kan se trenden, skulle vi använda ett glidande medelvärde med en längd säsongsspann. Således har i de släta serierna varje utjämnat värde varit medelvärde över alla årstider. Detta kan göras genom att titta på ett ensidigt glidande medelvärde där du i genomsnitt alla värden för tidigare år värderade data eller ett centrerat glidande medelvärde där du använder värden både före och efter aktuell tid. För kvartalsdata kan vi till exempel definiera ett jämnt värde för tiden t som (x t x t-1 x t-2 x t-3) 4, genomsnittet av den här tiden och de föregående 3 kvartalen. I R-kod kommer detta att vara ett ensidigt filter. Ett centrerat glidande medelvärde skapar lite svårighet när vi har ett jämnt antal tidsperioder under säsongsspannet (som vi brukar göra). Att släpa säsongen i kvartalsdata. För att identifiera trenden är den vanliga konventionen att använda det glidande medlet jämnas vid tidpunkten t. För att släta säsongen i månadsdata. För att identifiera trenden är den vanliga konventionen att använda det glidande medlet glatt vid tidpunkt t. Det vill säga, vi applicerar vikt 124 till värden ibland t6 och t6 och vikt 112 till alla värden vid alla tidpunkter mellan t5 och t5. I R-filterkommandot anger du ett tvåsidigt filter när vi vill använda värden som kommer både före och efter tiden för utjämning. Observera att på sidan 71 i vår bok gäller författarna lika vikter över ett centrerat säsongsmässigt glidande medelvärde. Det är okej också. Exempelvis kan en kvartalsmjukare glättas vid tidpunkten t är frac x frac x frac xt frac x frac x En månatlig mjukare kan tillämpa en vikt av 113 till alla värden från tiderna t-6 till t6. Koden som författarna använder på sidan 72 utnyttjar ett rep-kommando som upprepar ett värde ett visst antal gånger. De använder inte filterparametern inom filterkommandot. Exempel 1 Kvartals ölproduktion i Australien I både lektion 1 och lektion 4 tittade vi på en serie kvartalsvis ölproduktion i Australien. Den följande R-koden skapar en jämn serie som låter oss se trendmönstret och plottar detta trendmönster på samma graf som tidsserien. Det andra kommandot skapar och lagrar den släta serien i objektet som kallas trendpattern. Observera att det i filterkommandot ger det parametervärde filtret koefficienterna för utjämningen och sidor 2 gör att en centrerad smidig kan beräknas. ölprodskanning (beerprod. dat) trendpatternfilter (ölprod, filter c (18, 14, 14, 14, 18), sidor2) plot (ölprod, typ b, huvudrörande genomsnittliga årliga trend) linjer (trendpattern) Heres resultatet: Vi kan subtrahera trendmönstret från datavärdena för att få en bättre titt på säsongsalder. Heres hur det skulle bli gjort: seasonals beerprod - trendpattern plot (säsonger, typ b, huvudsäsongsmönster för ölproduktion) Resultatet följer: En annan möjlighet att utjämna serier för att se trenden är ettsidigt filter trendpattern2 filter (ölprod, filter c (14, 14, 14, 14), sidor1) Med detta är det släta värdet genomsnittet för det gångna året. Exempel 2 USA: s månatliga arbetslöshet I läxan för vecka 4 såg du på en månadsserie arbetslöshet i USA för 1948-1978. Här är en utjämning gjord för att titta på trenden. trendunemployfilter (arbetslös, filterc (124,112,112,112,112,112,112,112,112,112,112,112,124), sidor2) trendunemploy ts (trendunemploy, start c (1948,1), freq 12) plot (trendunemploy, mainTrend i arbetslöshet i USA, 1948-1978, xlab Year) Endast den släta trenden är planerad. Det andra kommandot identifierar kalendertidsegenskaperna för serien. Det gör att tomten har en mer meningsfull axel. Grunden följer. För serier som inte är säsongsbundna, är det inte säkert att du släpper över någon viss spänn. För utjämning bör du experimentera med glidande medelvärden av olika spänner. Dessa spänner över tiden kan vara relativt korta. Målet är att slå av de grova kanterna för att se vilken trend eller mönster som kan vara där. Andra utjämningsmetoder (avsnitt 2.4) Avsnitt 2.4 beskriver flera sofistikerade och användbara alternativ för att flytta genomsnittlig utjämning. Detaljerna kan verka sketchy, men det är okej för att vi inte vill komma ner i massor av detaljer för dessa metoder. Av de alternativa metoder som beskrivs i avsnitt 2.4 kan lowess (lokalt viktad regression) vara den mest använda. Exempel 2 Fortsatt Följande diagram är en jämn trendlinje för USA: s arbetslöshetsserie, som användes med en lågare mjukare, i vilken en betydande mängd (23) bidrog till varje jämn uppskattning. Observera att detta slätte serien mer aggressivt än det glidande medlet. De kommandon som användes var arbetslösa ts (arbetslös, start c (1948,1), freq12) plot (lowess (arbetslös, f 23), främsta Lowess-utjämning av USA: s arbetslöshetstendens) Enkel exponentiell utjämning Den grundläggande prognosekvationen för enkel exponentiell utjämning är ofta given som hatt alfa xt (1-alfa) hat t-text Vi förutspår värdet av x vid tid t1 för att vara en viktad kombination av det observerade värdet vid tid t och det prognostiserade värdet vid tiden t. Även om metoden kallas en utjämningsmetod används den huvudsakligen för prognoser på kort sikt. Värdet av kallas utjämningskonstanten. Oavsett anledning är 0,2 ett populärt standardprogramval. Detta lägger en vikt på .2 på den senaste observationen och en vikt på 1,2 .8 på den senaste prognosen. Med ett relativt litet värde kommer utjämningen att bli relativt mer omfattande. Med ett relativt stort värde är utjämningen relativt mindre omfattande, eftersom mer vikt kommer att sättas på det observerade värdet. Det här är en enkel prognosmetod med ett steg framåtblickande som vid första anblicken inte verkar ha behov av en modell för data. Faktum är att denna metod motsvarar användningen av en ARIMA (0,1,1) modell utan konstant. Det optimala förfarandet är att passa en ARIMA (0,1,1) modell till det observerade datasetet och använda resultaten för att bestämma värdet på. Det här är optimalt i den meningen att det bäst ska skapas för de data som redan observerats. Även om målet är utjämning och ett steg framåt prognoser, motsvarar likvärdigheten till ARIMA (0,1,1) modellen en bra punkt. Vi bör inte blint använda exponentiell utjämning eftersom den underliggande processen kanske inte är välmodellerad av en ARIMA (0,1,1). ARIMA (0,1,1) och exponentiell utjämningsekvivalens Tänk på en ARIMA (0,1,1) med medelvärdet 0 för de första skillnaderna, xt - x t-1: starthatt amp amp xt theta1 wt amp amp xt theta1 (xt - som t) amp amp (1 theta1) xt-theta1hat tenderar. Om vi ​​låter (1 1) och därmed - (1) 1, ser vi ekvivalensen till ekvation (1) ovan. Varför metoden kallas exponentiell utjämning Detta ger följande: starthatt amp amp alpha xt (1-alfa) alfa x (1-alfa) hatt amp amp alpha xt alfa (1-alfa) x (1-alfa) 2hat än Fortsätt På detta sätt genom successivt att ersätta det prognostiserade värdet på ekvations högra sida. Detta leder till: hatt alfa xt alfa (1-alfa) x alfa (1-alfa) 2 x prick alfa (1-alfa) jx prick alfa (1-alfa) x1 text ekvation 2 visar att det prognostiserade värdet är ett vägt genomsnitt Av alla tidigare värden av serien, med exponentiellt förändrade vikter när vi flyttar tillbaka i serien. Optimal exponentiell utjämning i R I grund och botten passar vi bara en ARIMA (0,1,1) till data och bestämmer koefficienten. Vi kan undersöka passformen för den smidiga genom att jämföra de förutsagda värdena till den aktuella serien. Exponentiell utjämning tenderar att användas mer som ett prognosverktyg än en riktigt jämnare, så letade efter att se om vi har en bra passform. Exempel 3 n 100 månatliga observationer av logaritmen för ett oljeprisindex i USA. Dataserien är: En ARIMA (0,1,1) passning i R gav en MA (1) - koefficient 0,3877. Således (11) 1,3877 och 1--0,3877. Exponential utjämning prognos ekvationen är hatt 1.3877xt - 0.3877hat t Vid tiden 100 är det observerade värdet av serien x 100 0.86601. Det förutspådda värdet för serien vid den tiden är sålunda prognosen för tid 101 är hatten 1.3877x - 0.3877hat 1.3877 (0.86601) -0.3877 (0.856789) 0.8696 Följande är hur bra den smidigare passar serien. Det är en bra passform. Det är ett gott tecken på prognoser, det huvudsakliga syftet med detta är smidigare. Här är kommandon som används för att generera produktionen för det här exemplet: oilindex scan (oildata. dat) plot (oilindex, typ b, Main Log of Oil Index Series) expsmoothfit arima (oilindex, order c (0,1,1)) expsmoothfit För att se arima resultat förutsäger oilindex - expsmoothfitresiduals predicted values ​​plot (oilindex, typeb, huvudexponentiell utjämning av log of oil index) linjer (förutsägda) 1.3877oilindex100-0.3877predicteds100 prognos för tid 101 Dubbel exponentiell utjämning Dubbel exponentiell utjämning kan användas när theres Trend (antingen långsiktig eller kort sikt), men ingen säsongsmässighet. I huvudsak skapar metoden en prognos genom att kombinera exponentiellt jämnade uppskattningar av trenden (lutning av en rak linje) och nivån (i princip avlyssningen av en rak linje). Två olika vikter eller utjämningsparametrar används för att uppdatera dessa två komponenter vid varje tillfälle. Den jämnda nivån är mer eller mindre ekvivalent med en enkel exponentiell utjämning av datavärdena och den släta trenden är mer eller mindre lika med en enkel exponentiell utjämning av de första skillnaderna. Proceduren motsvarar montering av en ARIMA (0,2,2) modell, utan konstant kan den utföras med en ARIMA (0,2,2) passform. (1-B) 2x (1theta1B theta2B2) vikt. NavigationSmoothing-data tar bort slumpmässig variation och visar trender och cykliska komponenter. Inhämtande i insamlingen av data som tagits över tiden är någon form av slumpmässig variation. Det finns metoder för att minska avbrytandet av effekten på grund av slumpmässig variation. En ofta använd teknik inom industrin är utjämning. Denna teknik, när den tillämpas korrekt, avslöjar tydligare den underliggande trenden, säsongs - och cykliska komponenter. Det finns två olika grupper av utjämningsmetoder. Medelvärden Metoder Exponentiella utjämningsmetoder Medeltal är det enklaste sättet att smidiga data Vi ska först undersöka några medelvärdesmetoder, till exempel det enkla genomsnittet av alla tidigare data. En lagerförare vill veta hur mycket en typisk leverantör levererar i 1000 dollar-enheter. Heshe tar ett urval av 12 leverantörer, slumpmässigt, erhåller följande resultat: Den beräknade medelvärdet eller medeltalet av data 10. Chefen bestämmer sig för att använda detta som uppskattning av utgifter för en typisk leverantör. Är detta en bra eller dålig uppskattning Medelkvadratfel är ett sätt att bedöma hur bra en modell är Vi ska beräkna det genomsnittliga kvadratfelet. Felaktigt belopp som använts minus den beräknade mängden. Felet kvadrerat är felet ovan, kvadrerat. SSE är summan av kvadrerade fel. MSE är medelvärdet av de kvadratiska felen. MSE-resultat till exempel Resultaten är: Fel och kvadrater Fel Uppskattningen 10 Frågan uppstår: kan vi använda medelvärdet för att prognostisera inkomst om vi misstänker en trend En titt på grafen nedan visar tydligt att vi inte borde göra det här. Genomsnittet väger alla tidigare observationer lika Sammanfattningsvis anger vi att Det enkla genomsnittet eller medelvärdet av alla tidigare observationer är enbart en användbar uppskattning för prognoser när det inte finns några trender. Om det finns trender, använd olika uppskattningar som tar hänsyn till trenden. Medeltalet väger alla tidigare observationer lika. Medelvärdet av värdena 3, 4, 5 är till exempel 4. Vi vet självklart att ett medel beräknas genom att lägga till alla värden och dela summan med antalet värden. Ett annat sätt att beräkna medelvärdet är att lägga till varje värde dividerat med antalet värden eller 33 43 53 1 1.3333 1.6667 4. Multiplikatorn 13 kallas vikten. Generellt: bar frac summa vänster (frac right) x1 left (frac right) x2,. ,, vänster (frac höger) xn. Den (vänster (frac höger)) är vikterna och de räknas naturligtvis till 1.